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El problema de los tres puntos.

Para algunos casos, podemos determinar el buzamiento de un estrato determinando tres puntos a partir de su representación topográfica, sin tomar datos en el campo, ya que podemos disponer de ellos con los actuales medios digitales, aunque posteriormente deberemos contrastarlos.

Tomemos por ejemplo el espectacular estrato de "Lastrías" en el Portillo de Lunada. Dada la extensión de la estructura podemos determinar tres puntos, situados a centenares de metros, casi sin temor a equivocarnos mucho, de que estos, están contenidos en plano paralelo al de buzamiento.

Si multiplicamos vectorialmente los dos vectores obtenidos con los tres puntos obtendremos un vector perpendicular al plano que contiene los dos vectores (y por tanto a los tres puntos). Este vector producto es un vector normal al plano de buzamiento y el ángulo que forma con la vertical será precisamente el ángulo de buzamiento.

IMG_2588_red

MDE


Procedimiento algebraico.

  • Se determinan las coordenadas de los tres puntos por medio de cualquier medio topográfico. En nuestro caso por medio de un Modelo de Elevaciones.

 

X=

Y=

Z=

P.Origen

446906

4779805

1336

P.extremo_1

447094

4779758

1296

P.extremo_2

447124

4779846

1284


  • Restando las coordenadas se obtienen las componentes "i", "j" ,"k" de los dos vectores (es importante mantener el orden de las operaciones para evitar malas interpretaciones)

Vector PorPex1= ((447094-446906)i, (4779758-4779805)j, (1296-1336)k)

Vector PorPex1 =

(188 i

-47j

-40)k

Vector PorPex2= ((447124-446906)i, ( 4779124-4779805)j, (1284-1336)k)

Vector PorPex2

(218i

41j

-52)k

i

j

k

188

-47

-40

218

41

-52

Vector producto =

(4084 i

1056 j

17954 j)

 se obtiene la norma de vector, que es la raiz cuadrada de (40842 + 10562 + 179542) = 18474 y hallamos el vector unitario dividendo cada componente "i", "j" ,"k" por la norma

Vector unitario =

(0,221440 i

0,0572578 j

0,973491 k)

Precisamente la componente "k" del vector unitario es el valor del coseno del ángulo que forma con la vertical (expresado en radianes) por lo que el ángulo de buzamiento es 13,22 grados.